www.spargalkes.lt

Matematika

Matematinės logikos egzamino atsakymai

Skaityti daugiau...
 

Bedarbystės statistinis tyrimas

Analizei panaudojome tik keletą lentelių – tai bedarbiai pagal darbo ieškojimo būdus ir bedarbiai pagal išsilavinimą. Pagal išsilavinimą nagrinėsime vyrus ir moteris.

1 lentelėje matome, kaip bedarbiai pasiskirsto pagal darbo ieškojimo būdus. Populiariausias darbo ieškojimo būdas 2002 – 2003 metais yra užsiregistravimas valstybinėje darbo biržoje, taip pat dauguma Lietuvos gyventojų dėl darbo kreipėsi į pažįstamus ar reguliariai sekė skelbimus žiniasklaidoje. Tik maža dalis bedarbių kreipiasi į privačias darbo biržas ar skelbiasi žiniasklaidoje, kad ieško darbo.

Skaityti daugiau...
 

Lygčių špera

Skaityti daugiau...
 

Uždavinynai

Tai aštuoni matematiniai uždavinynai.

Skaityti daugiau...
 

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika – tai daugelio šiandienos progresyvi technologijų pagrindas. Jei norite suprasti šiuolaikinį kompiuterį architekūrą, programinę rangą , komunikacijos sistemas, skaitmeninį signalų apdorojimą, informacijos teoriją, neuroninius tinklus, valdymo sistemas ir t. t., jūs turėsite išmokti bent truputį, o gal ir daug, diskrečiosios matematikos. Tuo pačiu diskrečioji matematika yra daugelio matematikos ir teorinės informatikos sričių pagrindas.

Matematikos mokslą galima sąlyginai padalinti diskrečioji matematika ir tolydžioji matematika.

Skaityti daugiau...
 

Kombitorikos pradmenys

Bet kuris tam tikro skaičiaus objektų dėstinys (išdėstymas) vadinamas kėliniu. N skirtingų elementų kėlinių skaičius yra lygus n!

Daugybos taisyklė: tarkime, kad turime atlikti vieną po kito k kokių nors veiksmų. Jeigu pirmą veiksmą galime atlikti n1 būdų, antrą - n2 būdų ir t. t. k - tąjį veiksmą nk būdų tai visus k veiksmus galima atlikti n1 n2 n3 … k būdų.

Bet kuris k (k<=n) elementų, paimtų iš n elementų aibės, dėstinys vadinamas gretiniu iš n elementų po k. Gretiniai iš n elementų po k skaičius žymimas Ank = n! / (n-k) !

Sudėties taisyklė: sakykime, yra n1 pirmosios rūšies elementų, n2 antrosios rūšies elementų…. Nk k-tosios  rūšies elementų. Pasirinkti iš jų vieną elementa (iš pirmosios , iš antrosios arba iš k-tosios rušies) galima n1 + n2 + n3 + … + nk ūdų.

Objektų rinkinys, kuriame neatsižvelgiama į tų objektų eilės tvarką, vadinamas deriniu. Bet kuris n - elementės aibės (nesutvarkytos) k - elementis poaibis (k<=n) vadinamas deriniu iš n elementų po k. Žymimas Cnk = n! / k! (n-k)!; Cnk k! = Ank ; Cnn-k = Cnk ;

Skaityti daugiau...
 

Formulių lentelė

Skaityti daugiau...
 

Statistinis darbas: Mokytojų vėlavimas į pamokas

1. Mokytojai vėluoja į pamokas.

2. Vidutiniškai mokytojai vėluoja į pamokas 2,5 minutės.

3. Dažniausiai mokytojai vėluoja į pamokas 2 minutes.

4.  Manau, kad reikėtų įvesti dviejų skambučių sistemą. Pirmasis skambutis būtų signalas, kad už kelių minučių prasidės pamoka.

Skaityti daugiau...
 

Funkcijos tyrimas

Skaityti daugiau...
 

Matematinis modeliavimas

Sprendžiant gamtos ir technikos mokslų uždavinius naudojami įviairūs matematiniai modeliai.

Dažniausiai jie aprašomi viena arba keliomis lygtimis, siejančiomis nepriklausomus kintamuosius, ieškomaja funkcija ir jos išvestines.

Tokios lygtys yra vadinamos diferencialinėmis lygtimis. Jeigu diferencialinėje lygtyje yra tik vienas nepriklausomas kintamasis, tai tokia lygtį vadiname paprastąja diferencialine lygtimi. Priešingu atveju diferencialinė lygtis vadinama dalinių išvestinių lygtimi. Lygtis vadinama k - osios eilės lygtimi, jeigu į ją įeina ieškomos funkcijos k - osios eilės išvestinė ir neįeina aukštesnių eilių išvestinės.

Skaityti daugiau...
 

Aukštoji matematika. Algebros pagrindai

Aibe vadinsime, bet kokį objektų rinkinį. Objektai sudarantys minėtąjį rinkinį vadinami aibės elementais. Ateityje aibes žymėsime didžiosiomis lotyniškosios abėcėlės raidėmis, o jos elementus mažosiomis. Taisyklę  kuria vienos aibės elementui priskiriamas vienas kitos (arba tos pačios) aibės elementas, vadinsime funkcija.

Matematikos tyrimo objektas - teiginiai, t.y. sakiniai, kurie yra teisingi arba klaidingi.

Priminsime, kad pradiniai (iš anksto) teisingi teiginiai, vadinami aksiomomis arba elementariaisiais teiginiais. Teiginių aibėje apibrėžkime operacijas, kurių atžvilgiu ši aibė būtų uždara.

Kitaip tariant, atlikdami teiginių veiksmus gausime teiginį, kurį vadinsime sudėtiniu teiginiu arba logine forma.

Skaityti daugiau...
 

Matematinės formulės

Skaityti daugiau...
 

Matematinės analizės kursas

Trečiojo tūkstantmečio akivaizdoje informacijos srautas tampa nesuvaldomu be kompiuterio pagalbos. Priklausomai nuo informacijos pobūdžio, jai analizuoti naudojami įvairiausi kompiuterinių programų paketai. Jų įsisavinimui būtinas bent minimalus vartotojo matematinis pasiruošimas.

Šio kurso objektas – vieno kintamojo funkcijos tyrimas ir su tuo tampriai susijusios tolydumo, išvestinės, integralo, eilutės sąvokos. Visa tai talpinama po bendru matematinės analizės stogu.

Inžinerinės informatikos specialybės mokymo programoje matematinei analizei yra skiriami trys semestrai. Šį paskaitų konspektą paruošė Matematinės statistikos katedros dėstytojas A. Grigelionis.

Skaityti daugiau...
 

Kompleksiniai skaičiai

Tai špera apie kompleksinius skaičius.

Skaityti daugiau...
 

Pitagoro teorema ir jos įrodymo būdai

Sunku rasti žmogų, kuriam Pitagoro vardas nesisietų su Pitagoro teorema. Tikriausiai net tie, kas visam gyvenimui atsisveikino su matematika, pamena “Pitagoro kelnes” – kvadratą, nubrėžtą ant įžambinės, lygų dviems kvadratams, nubrėžtiems ant statinių. Tokio Pitagoro teoremos populiarumo priežastys yra trys: paprastumas, grožis ir reikšmingumas. Iš tikrųjų, Pitagoro teorema paprasta, bet ji nėra akivaizdi. Šių dviejų priešingybių derinys ir suteikia jai žavesio. Be to, Pitagoro teorema turi didžiulę reikšmę: geometrijoje ji naudojama tiesiog kiekviename žingsnyje, ir tas faktas, kad egzistuoja apie 500 skirtingų jos įrodymų (geometrinių, algebrinių, mechaninių ir pan.), liudija apie nesuskaičiuojamą galybę konkrečių Pitagoro teoremos realizacijų. Pitagoro teoremos atradimas apsuptas gražių legendų auros. Proklas, komentuodamas paskutinį pirmosios Euklido “Pradų” knygos teiginį, rašo: “Jei paklausysime tų, kas mėgsta kartoti senovines legendas, teks tarti, kad ši teorema kyla iš Pitagoro; pasakojama, kad jis šio atradimo garbei paaukojo jautį”. Beje, dosnesni pasakoriai vieną jautį pavertė į hekatombą, o tai jau visas šimtas jaučių. Ir nors dar Ciceronas pastebėjo, kad bet koks kraujo praliejimas buvo svetimas Pitagorui ir jo pasekėjams, legenda apie auką tvirtai susiliejo su Pitagoro teorema, ir po dviejų tūkstantmečių vis dar kelia karštus debatus. Pavyzdžiui, optimistas Michailas Lomonosovas (1711 - 1765) rašė: “Pitagoras už savo geometrinės taisyklės atradimą paaukojo Dzeusui 100 jaučių. Bet jeigu gudruoliai matematikai šiais laikais seks jo godotinu pavyzdžiu, vargu ar pasaulyje tiek raguočių atsirastų”. O ironiškasis Heinė (1797 - 1856) matė šios situacijos vystymąsi kiek kitaip: “Kas žino! Kas žino! Gal Pitagoro siela persikėlė į kūną vargšo kandidato, kuris nesugebėjo įrodyti Pitagoro teoremos ir dėl to neišlaikė egzamino, tuo metu kai egzaminatoriuose tūnojo sielos tų jaučių, kuriuos Pitagoras, nudžiugintas atradimo, paaukojo nemirtingiems dievams”.

Skaityti daugiau...
 

Funkcijos tolydumas

Skaityti daugiau...
 

Aukštoji matematika

Atitiktis tarp aibių X ir Y vadinama funkcija, jeigu kiekvieną aibės X elementą atitinka tik vienas aibės Y elementas. Aibių X ir Y elementais gali būti skaičiai, geometrinės figūros ir kiti įvairūs objektai. Jeigu aibės X ir Y skaitinės, tai funkcija vadinama skaitine. Skaitinę funkciją žymėsime y5f (x), xÎX (funkcinė priklausomybė gali būti žymima ir kitomis raidėmis). Elementas x vadinamas nepriklausomu kintamuoju arba argumentu, o y laikomas priklausomu kintamuoju. Funkcijos y5f (x) reikšmė, atitinkanti reikšmę x5a, vadinama funkcijos reikšme taške a ir žymima f (a). Aibė X vadinama funkcijos apibrėžimo sritimi, o aibė Y vadinama tos funkcijos kitimo sritimi. Funkcijos y5f (x) apibrėžimo (definicijos) sritis simboliškai žymima D(f) arba D(y), o kitimo (egzistencijos) sritis - E(f) arba E(y). Norint nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį, reikia rasti visas argumento x reikšmes, prie kurių funkcija turi prasmę.

Skaityti daugiau...
 

Algebra. Paskaitų konspektai.

Dalumo su liekana teorema. Didžiausias bendras daliklis. Euklido algoritmas. Tarpusavyje pirminiai skaičiai. Pirminiai skaičiai. Pagrindinė aritmetikos teorema.

Apibrėžimas. Tegu a ir b yra sveikieji skaičiai. Sakysime, kad a dalijasi iš b (be liekanos), jeigu egzistiuoja toks sveikasis skaičius c; kad a = b : c: Sakome, kad skaičius b yra a daliklis.

Skaityti daugiau...
 

Algebrinės struktūros špera

Skaityti daugiau...
 

Talis Miletietis

Talis Miletietis buvo antikinės ir kartu Europos filosofijos ir mokslo pradininkas, vienas iš Mileto mokyklos įkūrėjų. Mileto mokykla buvo pati pirmoji graikų filosofijos mokykla. Talis dalyvavo Mileto politinėje ir ūkinėje veikloje, daug keliavo, buvo susipažinęs Egipto, Babilonijos, Finikijos mokslu, ypač matematika ir astronomija. Remdamasis šešėliu išmatavo piramidžių aukštį. Talis pirmasis mėgino paaiškinti gamtą ne mitologiškai, bet remdamasis ja pačia. Jis teigė, kad visa tikrovės įvairovė turi vieną pradą – vandenį, todėl visa, kas egzistuoja, yra tarp savęs susiję. Talis filosofiškai aiškino, kad pasaulio reiškiniai nėra atsitiktiniai, kad pasaulis ne chaotiškas, o dėsningas.

Skaityti daugiau...
 

Antros eilės kreivių ir paviršių geometrija

Pradedame nagrinėti kiek įdomesnius objektus nei tiesės ir plokštumos – kreives ir paviršius.

Jų tyrime remsimės jau įgytomis tiesinės algebros ir geometrijos žiniomis. Jei šios žinios sudurstytos kaip elgetos frakas, būsimo geometrijos egzamino prognozės nėra optimistinės.

Bet gasdinti studentą šiurpiu egzaminu tas pats, kas įtikinėti ar išvengti šlapio vandens. Taigi pirmyn.

Pirmoje dalyje nagrinėjamos trys kreivės: elipsė, hiperbolė ir parabolė. Kad jos labai svarbios patvirtina jų skaičius – trys (daugelis žinome "Tris muškietininkus", nors rašoma tai apie keturis). Kaip bebūtų su ta trejybe, egzistuoja rimtas paskatas atidžiai su ja susipažinti – po pirmos dalies rašomas pirmas kontrolinis.

Skaityti daugiau...
 
Puslapis 3 iš 4
Matematika
www.kvepalai.ltkvepalai.ltwww.spargalkes.ltspargalkes.ltwww.tytuvenai.lttytuvenai.lt